Hål, rör och härledningar

Häromdagen var jag ute och promenerade. På ett ställe passerade jag ett stilla vattenflöde som rann genom ett hål, en kulvert under vägen. Jag måste erkänna att jag är fascinerad av hål. En tom yta eller volym som omges av något som förmår upprätthålla skillnaden mellan insidan och utsidan av hålet. Det kan vara ett fisknät vars nylonmaskor definierar de rutor som omger hålen i nätet, eller hålet som grävts ut för att bli en husgrund, vars sidor hålls samma av friktions- och skjuvkrafter som hindrar hålet från att rasa samman. Ibland är hålet helt eller devis fyllt av något annat medium, t.ex. vattnet som strömmar fram i en cirkelrund kulvert under gatan.

När jag ser det strömmande vattnet börjar jag nyfiket fundera på hur mycket vatten som rinner genom kulverten. Är det 100 liter, 1000 liter eller 10.000 liter per sekund som flödar fram under mina fötter? Eftersom kulverten har rund botten är det lite klurigt att gissa ett flöde mellan tummen och pekfingret, men med erfarenhet av tidigare flödesmätningar skulle jag gissa på ca 100 liter per sekund. Som tur var hade jag med mig ett måttband, ett stoppur och en apelsin, vilket är allt som behövs för att kunna räkna ut flödet med hyfsad noggrannhet. 

Några av er kanske minns formeln för en cirkels area: Arean = pi*radien*radien och formeln för en cylinders volym: Volymen = arean * längden. Det vore teoretiskt alltså ingen konst att räkna ut hur stor volym vatten som maximalt skulle rymmas i kulverten - mät diametern, räkna ut tvärsnittsarean och multiplicera med kulvertens längd.

 

Men vattnet som strömmar fram i min kulvert fyller ju långt ifrån hela ledningsvolymen och bör aldrig heller göra detta eftersom kulverten ska klara att leda undan allt regnvatten även vid extrema skyfall. Hur beräknar man då tvärsnittsarean på det strömmande vattnet i ledningen när den inte ens är halvfull? Ja, nu blir formeln lite mer spännande eftersom den behöver ta hänsyn till ledningens böjda vägg vilket också gör att areaökningen inte är linjär med ett ökat flöde.

Det jag gör nu är att utifrån diametern beräkna arean på det cirkelsegment vars nedre del går ned i vattnet, se bilden till vänster.

Därefter räknar jag ut arean på den likbenta triangel som utgör den övre delen av cirkelsegmentet som ligger ovanför vattnet, se bilden nedan. Därefter subtraherar jag triangelns area från hela cirkelsektorns area och då får jag fram vattnets tvärsnittsarea - häftigt va?

För att beräkna vattnets tvärsnittsarea behövs några uppgifter vara kända och möjliga att mäta i fält och här kom måttbandet till användning.

h = Vattendjupet i kulverten, dvs vattenytan till botten (m)

R = Kulvertens radie, dvs halva diametern (m)

Formeln för vattnets tvärsnittsarea (i kvadratmeter) skulle som formel i ett dataprogram eller excel se ut ungefär så här:

A = R*R*ARCCOS((R-h)/R ) - (R-h) * ROT(h*(R*2-h))
eller skriven i en form som används mer inom matematiken:

 

Formeln är sammansatt av tre formler: den första räknar ut arean på cirkelsektorn (cosinus-satsen) - och från denna subtraheras produkten av de två följande; den andra (R-h) beräknar höjden på den liksidiga triangeln (streckad röd linje på bilden ovan), och den tredje (rotuttrycket) räknar ut basen i den röda liksidiga triangeln.

Kulverten som jag passerade på min promenad uppmätte jag till en meter i diameter med ett vattendjup på 0,2 meter. Formeln ger att vattnets tvärsnittsarea är ca 0,11 kvadratmeter (eller 110 kvadratdecimeter). Det innebär att vi nu känner till arean och bara behöver komplettera med vattnets hastighet för att få flödet.

Men hur mäter man vattenhastighet i strömmande vatten? Det enklaste sättet (om man inte har en flödesmätare förstås) är att låta något biologiskt nedbrytbart med lagom densitet flyta med strömmen och ta tiden det tar för föremålet att flyta en bestämd sträcka. Jag brukar använda mig av bitar av apelsinskal som jag låter flyta mitt i strömmen längs en uppmätt sträcka på mellan två och tio meter. Tiden tar jag med stoppuret.
Formeln jag sedan använder är naturligtvis:
Flödet (kubikmeter per sekund) = Vattnets tvärsnittsarea (kvadratmeter) * Vattnets flödeshastighet (m/s)
Vattnet som rann genom kulverten hade en uppmätt hastighet av 1 meter per sekund. Vattenflödet genom kulverten var med sin vattentvärsnittsarea på 0,11 kvadratmeter alltså 0,11 kubikmeter per sekund eller 110 liter per sekund. Min gissning på ca 100 liter per sekund var alltså inte så tokig, trots allt. Nu kan jag vandra vidare mot nya funderingar. Ha det gott mina vänner.